实现某三维物体的坐标绕过原点的向量轴n （默认过原点），旋转 α 角度（右手定则的四指方向）的旋转矩阵为 R(n ,α)，其表达形式为：
该旋转矩阵左乘三维物体上的某个点（列向量、列矩阵）即可得到旋转变换后的点。
说明：字母上带有→表示向量，不带箭头表示该向量对应的列矩阵；字母上的^表示该向量的单位向量。
将S 向量分解为旋转轴n 方向和垂直于旋转轴方向的两个向量，其中I表示旋转轴的单位列矩阵
求出与旋转轴n 和向量S 所在平面垂直的向量C
将S 在垂直于旋转轴的分量向C 旋转 α 度
上一步得到的向量与S 在旋转轴的分量相加，得到旋转后的向量，由于两个向量的叉乘可以写成一个矩阵乘以列向量的形式（证明略）
整理与提取，即可得到旋转矩阵 R（A 为单位矩阵）：
透视投影是利用相似三角形原理将远处平面坐标映射到相机可见的窗口处：
但该过程可以等价为：可以看作先将远处的平面压缩为等同于相机可见的窗口大小的平面，得到一个长方体，然后再进行正交投影（先平移，后放缩）得到以原点为中心的边长为 2 的立方体（规范立方体）
总公式M persp = M ortho M persp → ortho M_{\text {persp }}=M_{\text {ortho }} M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}
M persp = M ortho M persp → ortho
透视变换到正交（压缩远平面的矩阵）M persp → ortho = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\begin{pmatrix}
n & 0 & 0 & 0\\
0 & n & 0 & 0\\
0 & 0 & n+f & -n f \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
M persp → ortho = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f 1 0 0 − n f 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
正交变换矩阵M ortho = ( 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ) M_{\text {ortho }}=\begin{pmatrix}
\frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\
0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
M ortho = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ r − l 2 0 0 0 0 t − b 2 0 0 0 0 n − f 2 0 0 0 0 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 2 r + l − 2 t + b − 2 n + f 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
整理得到 ( r > 0 , l = − r , t > 0 , b = − t ) (r>0,l=-r,t>0,b=-t) ( r > 0 , l = − r , t > 0 , b = − t ) M persp = ( n / r 0 0 0 0 n / t 0 0 0 0 n + f n − f − 2 n f n − f 0 0 1 0 ) M_{\text {persp }}=\begin{pmatrix}
n/r & 0 & 0 & 0 \\
0 & n/t & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & \frac{-2nf}{n-f} \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
M persp = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ n / r 0 0 0 0 n / t 0 0 0 0 n − f n + f 1 0 0 n − f − 2 n f 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
M persp → ortho M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }} M persp → ortho 向远处平面靠近的 ，下面给出证明。
该矩阵的推导过程见课程 PPT ，下面直接给出其形式：
M persp → ortho = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\begin{pmatrix}
n & 0 & 0 & 0\\
0 & n & 0 & 0\\
0 & 0 & n+f & -n f \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
M persp → ortho = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f 1 0 0 − n f 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
初始点经过变换后得到新坐标，其中 z 方向的新坐标为f ( z 0 ) / z 0 f(z0)/z0 f ( z 0 ) / z 0
M ⋅ ( x 0 y 0 z 0 1 ) = ( n x 0 n y 0 f ( z 0 ) z 0 ) ⟶ / z 0 ( n x 0 / z 0 n y 0 / z 0 f ( z 0 ) / z 0 1 ) M \cdot\left(\begin{array}{c}
x_{0} \\
y_{0} \\
z_{0} \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
n x_{0} \\
n y_{0} \\
f\left(z_{0}\right) \\
z_{0}
\end{array}\right) \stackrel{/z_{0}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{c}
n x_{0} / z_{0} \\
n y_{0} / z_{0} \\
f\left(z_{0}\right) / z_{0} \\
1
\end{array}\right)
M ⋅ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ x 0 y 0 z 0 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ n x 0 n y 0 f ( z 0 ) z 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⟶ / z 0 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ n x 0 / z 0 n y 0 / z 0 f ( z 0 ) / z 0 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞
判断新坐标与初始坐标的 z z z g ( z 0 ) g(z0) g ( z 0 )
g ( z 0 ) = f ( z 0 ) z 0 − z 0 = n + f − n f z 0 − z 0 = ? 0 \begin{aligned}
g\left(z_{0}\right) &=\frac{f(z_{0})}{z_{0}}-z_{0} \\
&=n+f-\frac{n f}{z_{0}}-z_{0} \\
& \stackrel{?}= 0
\end{aligned}
g ( z 0 ) = z 0 f ( z 0 ) − z 0 = n + f − z 0 n f − z 0 = ? 0
g ′ = n f − z 0 2 z 0 2 , z 0 ∈ [ f , n ] g^{\prime}=\frac{n f-z_{0}^{2}}{z_{0}^{2}}, z_{0} \in[f, n]
g ′ = z 0 2 n f − z 0 2 , z 0 ∈ [ f , n ]
g ′ ′ < 0 且 g ′ ( f ) < 0 , g ′ ( n ) > 0 , 易 知 ， g ( x ) 在 [ f , n ] 区 间 内 先 减 后 增 ⇒ g ( f ) = g ( n ) = 0 ⇒ g ( z 0 ) < 0 \begin{aligned}
& g^{\prime \prime}<0且g^{\prime}(f)<0, g^{\prime}(n)>0, 易知，g(x)在[f,n]区间内先减后增\\
& \Rightarrow g(f)=g(n)=0 \\
& \Rightarrow g(z_0)<0
\end{aligned}
g ′ ′ < 0 且 g ′ ( f ) < 0 , g ′ ( n ) > 0 , 易 知 ， g ( x ) 在 [ f , n ] 区 间 内 先 减 后 增 ⇒ g ( f ) = g ( n ) = 0 ⇒ g ( z 0 ) < 0
最终得到 g ( z 0 ) < 0 g(z_0)<0 g ( z 0 ) < 0 − z -z − z
当然用绘图软件把f ( z 0 ) / z 0 f(z0)/z0 f ( z 0 ) / z 0
从上面的图中可以看出，当摄像机空间坐标下的深度值z：
从近平面变化到0的过程中（近平面为负值，变化过程中始终为负值），经过透视投影之后其深度值从近平面变化到正无穷，即深度由负值变为了正值，这就导致这段距离的某个点经过透视投影跑到了摄像机的后面（摄像机处于原点），不需要保留。
从0变化到正无穷的过程中，经过透视投影之后其深度值永远为负值，这就导致本来在摄像机后面的某个点经过透视投影跑到了摄像机的前面且在远平面之后，不应该被绘制，因此不应该保留。
该透视投影矩阵作用到坐标系的某个点后，该点始终是处于右手坐标系的（+Z指向屏幕外，且公式中的n和f均在-Z轴上，即0 > n > f 0>n>f 0 > n > f
该透视矩阵的特点：
传入的n和f为负值
在进行深度判断时，z（z<0）越大，离相机越近
初始化深度缓冲时应该设置为最小的负值
对于OpenGL中透视投影矩阵的构造，最终得到的透视投影矩阵是改变了左右手坐标系的，即世界、观察空间坐标是右手坐标系，经过OpenGL的透视投影矩阵变换之后变为了左手坐标系(且公式中的n和f均在-Z轴上，但本身是正值，即0 < n < f 0<n<f 0 < n < f OpenGL投影矩阵(Projection Matrix)构造方法 。
相应的需要修改的地方有：
传入的n和f要变为正值
在进行深度判断时，z（z>0）越大，离相机越远
初始化深度缓冲时应该设置为最大的正值
世界坐标下的三角形 △ A B C \triangle{ABC} △ A B C △ A ′ B ′ C ′ \triangle{A'B'C'} △ A ′ B ′ C ′
在光栅化的时候需要知道屏幕空间三角形内某点 P ′ P' P ′ P ′ P' P ′ P P P
通过重心坐标插值来获得 P P P 世界坐标下 )：
Z P = α Z A + β Z B + γ Z C Z_P = \alpha Z_A + \beta Z_B + \gamma Z_C
Z P = α Z A + β Z B + γ Z C
世界坐标下的 α 、 β 、 γ \alpha 、\beta 、\gamma α 、 β 、 γ △ A ′ B ′ C ′ \triangle{A'B'C'} △ A ′ B ′ C ′ α ′ 、 β ′ 、 γ ′ \alpha '、\beta ' 、\gamma ' α ′ 、 β ′ 、 γ ′ 屏幕坐标下 )：
Z P = α ′ Z A + β ′ Z B + γ ′ Z C Z_P = \alpha ' Z_A + \beta ' Z_B + \gamma ' Z_C
Z P = α ′ Z A + β ′ Z B + γ ′ Z C
但是透视实际上是一种近大远小的视觉现象，离视点远的部分会被缩放得更加厉害，所以需要对这个结果进行所谓的插值校正。
更本质的原因在于透视投影矩阵本身（参考：齐次空间的裁剪 ）
经过透视投影矩阵的变换之后，观察空间的所有点的x、y、z值与变换前相比都是线性的（只与远近平面、近平面的纵横比线性相关），但是经过透视除法之后，w值是变换前的-z值，因此x、y、z值与变换前相比是非线性的了。
上述的结论还告诉我们，对于透视投影变换后的顶点属性，那么将不能运用线性插值（当然可以使用这里将要推导的透视矫正插值），否则很多在原来坐标系中的存储信息将会变形；
根据重心坐标插值：
Z P = α Z A + β Z B + γ Z C = [ Z A Z B Z C ] [ α β γ ] Z_{P}=\alpha Z_{A}+\beta Z_{B}+\gamma Z_{C}=\left[\begin{array}{lll}
Z_{A} & Z_{B} & Z_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{array}\right]
Z P = α Z A + β Z B + γ Z C = [ Z A Z B Z C ] ⎣ ⎡ α β γ ⎦ ⎤
Z P ′ = α ′ Z A ′ + β ′ Z B ′ + γ ′ Z C ′ = [ Z A ′ Z B ′ Z C ′ ] [ α ′ β ′ γ ′ ] Z_{P'}=\alpha ' Z_{A'}+\beta ' Z_{B'}+\gamma ' Z_{C'}=\left[\begin{array}{lll}
Z_{A'} & Z_{B'} & Z_{C'}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\alpha ' \\
\beta ' \\
\gamma '
\end{array}\right]
Z P ′ = α ′ Z A ′ + β ′ Z B ′ + γ ′ Z C ′ = [ Z A ′ Z B ′ Z C ′ ] ⎣ ⎡ α ′ β ′ γ ′ ⎦ ⎤
由重心插值公式的性质推导：
1 = α ′ + β ′ + γ ′ 1 = \alpha ' + \beta ' + \gamma '
1 = α ′ + β ′ + γ ′
Z P Z P = Z A Z A α ′ + Z B Z B β ′ + Z C Z C γ ′ \begin{array}{l}
\frac{Z_{P}}{Z_{P}}=\frac{Z_{A}}{Z_{A}} \alpha^{\prime}+\frac{Z_{B}}{Z_{B}} \beta^{\prime}+\frac{Z_{C}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}
\end{array}
Z P Z P = Z A Z A α ′ + Z B Z B β ′ + Z C Z C γ ′
Z P Z P = [ Z A Z B Z C ] [ 1 Z A α ′ 1 Z B β ′ 1 Z C γ ′ ] \frac{Z_{P}}{Z_{P}}=\left[\begin{array}{lll}
Z_{A} & Z_{B} & Z_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{Z_{A}} \alpha^{\prime} \\
\frac{1}{Z_{B}} \beta^{\prime} \\
\frac{1}{Z_{C}} \gamma^{\prime}
\end{array}\right]
Z P Z P = [ Z A Z B Z C ] ⎣ ⎡ Z A 1 α ′ Z B 1 β ′ Z C 1 γ ′ ⎦ ⎤
Z P = [ Z A Z B Z C ] [ 1 Z A α ′ 1 Z B β ′ 1 Z C γ ′ ] Z P {Z_{P}}=\left[\begin{array}{lll}
Z_{A} & Z_{B} & Z_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\frac{1}{Z_{A}} \alpha^{\prime} \\
\frac{1}{Z_{B}} \beta^{\prime} \\
\frac{1}{Z_{C}} \gamma^{\prime}
\end{array}\right]Z_{P}
Z P = [ Z A Z B Z C ] ⎣ ⎡ Z A 1 α ′ Z B 1 β ′ Z C 1 γ ′ ⎦ ⎤ Z P
Z P = [ Z A Z B Z C ] [ Z P Z A α ′ Z P Z B β ′ Z P Z C γ ′ ] Z_{P}=\left[\begin{array}{lll}
Z_{A} & Z_{B} & Z_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\frac{Z_{P}}{Z_{A}} \alpha^{\prime} \\
\frac{Z_{P}}{Z_{B}} \beta^{\prime} \\
\frac{Z_{P}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}
\end{array}\right]
Z P = [ Z A Z B Z C ] ⎣ ⎢ ⎡ Z A Z P α ′ Z B Z P β ′ Z C Z P γ ′ ⎦ ⎥ ⎤
得到如下结论（重要结论 ）：
Z P Z A α ′ = α ， Z P Z B β ′ = β ， Z P Z C γ ′ = γ \frac{Z_{P}}{Z_{A}} \alpha^{\prime}=\alpha ，
\frac{Z_{P}}{Z_{B}} \beta^{\prime}=\beta ，
\frac{Z_{P}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}=\gamma
Z A Z P α ′ = α ， Z B Z P β ′ = β ， Z C Z P γ ′ = γ
其含义是某一点 P ′ P' P ′ ( α ′ , β ′ , γ ′ ) (\alpha ' , \beta ' , \gamma ') ( α ′ , β ′ , γ ′ ) P P P ( Z P Z A α ′ , Z P Z B β ′ , Z P Z C γ ′ ) (\frac{Z_{P}}{Z_{A}} \alpha^{\prime} , \frac{Z_{P}}{Z_{B}} \beta^{\prime} , \frac{Z_{P}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}) ( Z A Z P α ′ , Z B Z P β ′ , Z C Z P γ ′ )
由于重心坐标相加为 1：
Z P Z A α ′ + Z P Z B β ′ + Z P Z C γ ′ = 1 \frac{Z_{P}}{Z_{A}} \alpha^{\prime}+\frac{Z_{P}}{Z_{B}} \beta^{\prime}+\frac{Z_{P}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}=1
Z A Z P α ′ + Z B Z P β ′ + Z C Z P γ ′ = 1
得到正确的深度值：
Z P = 1 α ′ Z A + β ′ Z B + γ ′ Z C Z_{P}=\frac{1}{\frac{\alpha^{\prime}}{Z_{A}}+\frac{\beta^{\prime}}{Z_{B}}+\frac{\gamma^{\prime}}{Z_{C}}}
Z P = Z A α ′ + Z B β ′ + Z C γ ′ 1
接下来的步骤就是求屏幕空间的点 P ′ P' P ′ α ′ 、 β ′ 、 γ ′ \alpha ' 、 \beta ' 、 \gamma ' α ′ 、 β ′ 、 γ ′
正确得出深度的插值结果之后，再看看任意属性（法线向量，纹理坐标等）插值结果，设 I P I_P I P P ′ P' P ′ P P P
对于 △ A B C \triangle ABC △ A B C
I P = α I A + β I B + γ I C = [ I A I B I C ] [ α β γ ] I_{P}=\alpha I_{A}+\beta I_{B}+\gamma I_{C}=\left[\begin{array}{lll}
I_{A} & I_{B} & I_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{array}\right]
I P = α I A + β I B + γ I C = [ I A I B I C ] ⎣ ⎡ α β γ ⎦ ⎤
根据上述重要结论有：
I P = [ I A I B I C ] [ Z P Z A α ′ Z P Z B β ′ Z P Z C γ ′ ] I_{P}=\left[\begin{array}{lll}
I_{A} & I_{B} & I_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\frac{Z_{P}}{Z_{A}} \alpha^{\prime} \\
\frac{Z_{P}}{Z_{B}} \beta^{\prime} \\
\frac{Z_{P}}{Z_{C}} \gamma^{\prime}
\end{array}\right]
I P = [ I A I B I C ] ⎣ ⎢ ⎡ Z A Z P α ′ Z B Z P β ′ Z C Z P γ ′ ⎦ ⎥ ⎤
最后整理一下：
I P = ( α ′ Z A I A + β ′ Z B I B + γ ′ Z C I C ) Z P I_{P}=\left(\frac{\alpha^{\prime}}{Z_{A}} I_{A}+\frac{\beta^{\prime}}{Z_{B}} I_{B}+\frac{\gamma^{\prime}}{Z_{C}} I_{C}\right) Z_{P}
I P = ( Z A α ′ I A + Z B β ′ I B + Z C γ ′ I C ) Z P
折射（refraction） 是指光通过非均匀介质或者穿过不同介质的分界面时，由于其传播速度的变化而引起传播方向变化的现象。
折射定律（law of refraction） 又称 斯涅耳定律（Snell’s law），它描述了光从一种介质进入另一种介质时产生折射现象的规律，内容如下：
折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内；
折射光线和入射光线分别在法线两侧；
入射角 θ i \theta_i θ i θ t \theta_t θ t η i sin θ i = η t sin θ t \eta_{i}\sin \theta_{i}=\eta_{t} \sin \theta_{t} η i sin θ i = η t sin θ t η i \eta_{i} η i η t \eta_{t} η t
假设入射光线 ω i → \overrightarrow{\omega_i} ω i ω i → \overrightarrow{\omega_i} ω i n → \overrightarrow{n} n ω t \omega_t ω t ω t → = ω t → ⊥ + ω t → ∥ \overrightarrow{\omega_t}={\overrightarrow{\omega_t}}_{\perp}+{\overrightarrow{\omega_t}}_{\|} ω t = ω t ⊥ + ω t ∥ ω i → = ω i → ⊥ + ω i → ∥ \overrightarrow{\omega_i}={\overrightarrow{\omega_i}}_{\perp}+{\overrightarrow{\omega_i}}_{\|} ω i = ω i ⊥ + ω i ∥
由于：
sin θ t = η i sin θ i / η t ⇒ cos θ t = 1 − ( η i η t sin θ i ) 2 \begin{array}{c}
\sin \theta_{t} = \eta_{i} \sin \theta_{i}/\eta_{t} \\
\\
\Rightarrow \cos \theta_{t} = \sqrt{1- \left(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}} \sin \theta_{i}\right)^{2}}
\end{array}
sin θ t = η i sin θ i / η t ⇒ cos θ t = 1 − ( η t η i sin θ i ) 2
其中：
ω t → ∥ = cos θ t ⋅ ( − n → ) = ( − n → ) ⋅ 1 − ( η i η t sin θ i ) 2 = 1 − ( η i η t ) 2 ( 1 − ( ω i → ⋅ n → ) 2 ) ( − n → ) \begin{aligned}
{\overrightarrow{\omega_t }}_{\|}
&= \cos \theta_{t} \cdot (-\overrightarrow{n }) \\
&=(-\overrightarrow{n }) \cdot \sqrt{1- \left(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}} \sin \theta_{i}\right)^{2}} \\
&= \sqrt{1- \left(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}} \right)^{2}(1-(\overrightarrow{\omega_i } \cdot \overrightarrow{n })^2)}(-\overrightarrow{n })
\end{aligned}
ω t ∥ = cos θ t ⋅ ( − n ) = ( − n ) ⋅ 1 − ( η t η i sin θ i ) 2 = 1 − ( η t η i ) 2 ( 1 − ( ω i ⋅ n ) 2 ) ( − n )
由于：
∣ ω t → ⊥ ∣ / sin θ t = ∣ ω i → ⊥ ∣ / sin θ i = 1 ⇒ ω t → ⊥ = − ω i → ⊥ ⋅ sin θ t / sin θ i = − ω i → ⊥ ⋅ η i / η t \begin{array}{c}
| \overrightarrow{\omega_t }_{\perp} | / \sin \theta_{t}= | \overrightarrow{\omega_i }_{\perp} | /\sin \theta_{i} =1 \\
\\
\Rightarrow\overrightarrow{\omega_t }_{\perp} = -\overrightarrow{\omega_i }_{\perp} \cdot \sin \theta_{t} /\sin \theta_{i} = -\overrightarrow{\omega_i }_{\perp} \cdot \eta_i / \eta_t
\end{array}
∣ ω t ⊥ ∣ / sin θ t = ∣ ω i ⊥ ∣ / sin θ i = 1 ⇒ ω t ⊥ = − ω i ⊥ ⋅ sin θ t / sin θ i = − ω i ⊥ ⋅ η i / η t
对于上述公式的未知量ω i → ⊥ \overrightarrow{\omega_i}_{\perp} ω i ⊥
ω i → ⊥ = ω i → − ω i → ∥ = ω i → − cos θ i ⋅ n → = ω i → − ( ω i → ⋅ n → ) n → \overrightarrow{\omega_i }_{\perp} = {\overrightarrow{\omega_i }} - {\overrightarrow{\omega_i }}_{\|}
= {\overrightarrow{\omega_i }} - \cos \theta_{i} \cdot \overrightarrow{n }
= {\overrightarrow{\omega_i }} - (\overrightarrow{\omega_i } \cdot \overrightarrow{n }) \overrightarrow{n }
ω i ⊥ = ω i − ω i ∥ = ω i − cos θ i ⋅ n = ω i − ( ω i ⋅ n ) n
得到
ω t → = ω t → ⊥ + ω t → ∥ = η i / η t ( − ω i → + ( ω i → ⋅ n → ) n → ) + 1 − ( η i η t sin θ i ) 2 ( − n → ) \begin{aligned}
\overrightarrow{\omega_t }
&={\overrightarrow{\omega_t }}_{\perp}+{\overrightarrow{\omega_t }}_{\|} \\
&= \eta_i / \eta_t(-\overrightarrow{\omega_i }+(\overrightarrow{\omega_i } \cdot \overrightarrow{n }) \overrightarrow{n }) + \sqrt{1- \left(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}} \sin \theta_{i}\right)^{2}}(-\overrightarrow{n })
\end{aligned}
ω t = ω t ⊥ + ω t ∥ = η i / η t ( − ω i + ( ω i ⋅ n ) n ) + 1 − ( η t η i sin θ i ) 2 ( − n )
因此，在计算折射光线时，只需要得到：
ω t → ⊥ = η i / η t ( − ω i → + ( ω i → ⋅ n → ) n → ) {\overrightarrow{\omega_t }}_{\perp} = \eta_i / \eta_t(-\overrightarrow{\omega_i }+(\overrightarrow{\omega_i } \cdot \overrightarrow{n }) \overrightarrow{n })
ω t ⊥ = η i / η t ( − ω i + ( ω i ⋅ n ) n )
ω t → ∥ = 1 − ( ω t → ⊥ ) 2 ( − n → ) = 1 − ( η i η t ) 2 ( 1 − ( ω i → ⋅ n → ) 2 ) ( − n → ) \begin{aligned}
{\overrightarrow{\omega_t }}_{\|}
&=\sqrt{1- ({\overrightarrow{\omega_t }}_{\perp})^2}(-\overrightarrow{n })\\
&= \sqrt{1- \left(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}} \right)^{2}(1-(\overrightarrow{\omega_i } \cdot \overrightarrow{n })^2)}(-\overrightarrow{n }) \\
\end{aligned}
ω t ∥ = 1 − ( ω t ⊥ ) 2 ( − n ) = 1 − ( η t η i ) 2 ( 1 − ( ω i ⋅ n ) 2 ) ( − n )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 shade (p, wo)0.0 1 / A)not blocked in the middle2 / pdf_light0.0 wi (pdf_hemi = 1 / 2 pi)r (p, wi)shade (q, -wi) * f_r * cos θ / pdf_hemi / P_RR
